伴随矩阵

矩阵将m维世界和n维世界进行了密切的联系,是线性代数中的重要内容之一,也是许多学科常用的数学工具。在研究矩阵可逆的条件时,提出了伴随矩阵。当矩阵可逆时,借助伴随矩阵可以求出逆矩阵。在一般的教科书中,关于伴随矩阵的集中研究较少。本文主要结合实例,给出伴随矩阵的若干性质。 
  一、伴随矩阵的运算性质 
  性质1,乘积矩阵的伴随矩阵运算性质。若矩阵A为非奇异阵,k为常数(k≠0),则(kA)*=kn-1A*。 
  通过上式的计算,完成了对伴随矩阵运算性质的分析。 
  性质2,分块矩阵的伴随矩阵运算性质。若A、B作为n阶可逆矩阵,则有[0AB0*=0(-1)AB*(-1)B0]。 
  证明: 
  [0AB0*=0AB00AB0-1=(-1)n2BA0B-1A-10=0(-1)AB*(-1)B0] 
  二、伴随矩阵的关联性质 
  性质1,若A是n阶对称矩阵,那么A*也是n阶对称矩阵;若A是n阶反对称矩阵,那么当n是偶数时,A8也是n阶反对称矩阵,当n时奇数时,A*是n阶对称矩阵。 
  ∵A是n阶对称矩阵,∴AT=A,又∵(A*)T=(AT)*=(-A)n-1A*。 
  设n为偶数,有(-1)n-1A*=-A*,即(A*)T=-A*,所以A*也是n阶反对称矩阵; 
  当n时奇数,有(-1)n-1A*=A*,即(A*)T=A*,所以A*是n阶对称矩阵。 
  三、伴随矩阵的关系性质 
  对伴随矩阵的关系性质进行分析可知,主要包括以下三方面的性质。 
  性质1,若矩阵A和B可交换,则A*与B*也可交换。 
  证明:∵A,B可交换∴AB=BA,又∵A*B*(BA)*=(AB)*=B*A*∴A*和B*可以互相进行交换。 
  性质2,在方阵中,若方阵A等价于B,那么则认为A*等价于B*。 
  证明:∵A等价于B,则存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,上式子两边取伴随矩阵,得(PAQ)*=B*,即有Q*A*P*=B*,∵P,Q可逆,∴P*,Q*也可逆,由矩阵的等价定义可知,A*等价于B*。 
  性质3,在A与B相似的情况下,求A*与B*相似。 
  证明:∵如果A是可逆的,说明AB之间存在较强的相似性关系,可逆矩阵P也是相似的,将两者之间的等量关系用公式表示为:P-1AP=B,两边取行列式,得B可逆。在P-1AP=B两边取逆,得P-1A-1P=B。上式两边分别乘以[A],[B],得[P-1AA-1P=BB-1],即P-1A*P=B*。因此说明A*与B*相似。 
  四、伴随矩阵在研究生考试中的应用 
  例一(2013年,高数一)设A=(aij)是三阶非零矩阵,[A]为A的行列式,Aij为aij的代数余子式,若Aij+aij=0,则[A]=_____。 
  解:由Aij+aij=0知,AT=-A*,从而有[A=AT=-A*=-A2],即[A2+A=0],或[A=0,1]又[A=a11A11+a12A12+a13A13=-i=13a21i<0],故[A=-1]。 
  五、结语 
  伴随矩阵由原矩阵唯一确定,它们之间有必然的联系。原矩阵可逆时,伴随矩阵与其逆矩阵之间只差一个常数倍,所以伴随矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,研究伴随矩阵及其性質是非常有意义的。本文总结了伴随矩阵的性质,希望给解题带来一定的借鉴意义。 
  参考文献: 
  [1]张平平.伴随矩阵的性质及其应用[J].教育教学论坛,2015,(36):195-196. 
  [2]韩成茂.伴随矩阵性质研究[D].山东大学,2008. 
  [3]王莲花,田立平.伴随矩阵的性质及其应用[J].河南教育学院学报(自然科学版),2006,(03):4-6.
浏览次数:  更新时间:2017-10-25 15:20:41
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